Paradoxe de Monty Hall

Dans cet exercice, toutes les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.

Un candidat à un jeu télévisé est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles, se trouve une voiture, alors que les deux autres cachent une chèvre. Pour gagner, le candidat doit choisir la porte derrière laquelle se trouve la voiture.

Le candidat désigne, sans l'ouvrir, une porte parmi les trois.

Le présentateur de l'émission, ouvre alors l'une des deux portes qui n'ont pas été désignées par le candidat et derrière laquelle se trouve une chèvre.

Le candidat a alors la possibilité de conserver son choix, ou de le modifier et d'ouvrir la porte que n'a pas ouverte le présentateur.

L'objectif du problème est de déterminer si le candidat a intérêt à changer de porte ou à garder son choix initial.

1. À votre avis, le candidat a-t-il intérêt à changer de porte ?

2. On considère l'arbre pondéré ci-dessous. La première étape indique ce qui se trouve derrière la porte choisie initialement par le candidat et la deuxième étape indique ce qui se trouve derrière la porte choisie par le présentateur.

On suppose que, si le candidat a choisi initialement la porte derrière laquelle se trouve la voiture, le présentateur choisie de façon équiprobable l'une des deux autres portes.

    a. Justifier les deux probabilités inscrites sur cet arbre pondéré.

    b. Recopier et compléter cet arbre pondéré.

3. On suppose dans cette question que le candidat garde son choix initial.

    a. Repasser en rouge les chemins de l'arbre qui mènent dans ce cas à une victoire du candidat.

    b. En déduire la probabilité que le candidat gagne avec cette stratégie.

4. On suppose dans cette question que le candidat modifie son choix initial.

    a. Repasser en bleu les chemins de l'arbre qui mènent dans ce cas à une victoire du candidat.

    b. En déduire la probabilité que le candidat gagne avec cette stratégie.

5. Conclure en indiquant la meilleure stratégie à adopter pour avoir la plus grande chance de gagner à ce jeu.